Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.

Passo 1

Que tal uma explicação detalhada do que o enunciado nos pede??

Primeiro, uma equação exata tem a seguinte forma:

M x ,   y d x + N x ,   y d y = 0

Para verificarmos se a equação realmente é exata, precisamos usar a derivada parcial M y e N x . Se as duas forem iguais, então a equação é exata.

∂ M x ,   y ∂ y = ∂ N x ,   y ∂ x

Por fim, depois de verificarmos, temos uma fórmula para a solução:

g x ,   y = ∫ M x ,   y d x + n ( y )

Onde n ( y ) é definido pela integral dos termos de N ( x ,   y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A equação do nosso exemplo é a seguinte:

y s e n x + x y c o s x d x + x s e n x + 1 d y = 0

Vamos verificar se a equação é exata.

∂ M x ,   y ∂ y = ∂ N x ,   y ∂ x

∂ y s e n x + x y c o s x ∂ y = ∂ N x s e n x + 1 ∂ x

s e n x + x c o s x = s e n x + x c o s ( x )

A igualdade é verdadeira. Equação exata.

Passo 3

Agora, para encontramos a solução, usaremos a fórmula do passo 1.

g x ,   y = ∫ M x ,   y d x + n ( y )

g x ,   y = ∫ y s e n x + x y c o s x d x + n ( y )

Usando integral por partes no segundo termo: ∫ u v ' = u v - ∫ u ' v

g x ,   y = - y c o s x + y x s e n x - ∫ s e n x d x + n ( y )

g x ,   y = y x s e n x + c + n ( y )

O único termo que depende apenas de y em N ( x ,   y ) é o 1 .

g x ,   y = y x s e n ( x ) + c + ∫ 1 d y

g x ,   y = y x s e n x + y + c 1

g ( x , y ) é considerado uma constante.

y x s e n x + y = c 2

Resposta

y x s e n x + y = c 2