Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.

Passo 1

Que tal uma explicação detalhada do que o enunciado nos pede??

Primeiro, uma equação exata tem a seguinte forma:

M t ,   y d t + N t ,   y d y = 0

Para verificarmos se a equação realmente é exata, precisamos usar a derivada parcial M y e N t . Se as duas forem iguais, então a equação é exata.

∂ M t ,   y ∂ y = ∂ N t ,   y ∂ t

Por fim, depois de verificarmos, temos uma fórmula para a solução:

g t ,   y = ∫ M x ,   y d t + n ( y )

Onde n ( y ) é definido pela integral dos termos de N ( t ,   y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A equação do nosso exemplo é a seguinte:

- y 2 t 2 d t + 2 y t d y = 0

Vamos verificar se a equação é exata.

∂ M t ,   y ∂ y = ∂ N t ,   y ∂ t

∂ - y 2 t 2 ∂ y = ∂ N 2 y t ∂ x

- 2 y t 2 = - 2 y t 2

A igualdade é verdadeira. Equação exata.

Passo 3

Agora, para encontramos a solução, usaremos a fórmula do passo 1.

g x ,   y = ∫ M t ,   y d t + n ( y )

g x ,   y = ∫ - y 2 t 2 d t + n y

g x ,   y = y 2 t + c + n y

Nenhum termo de N ( x ,   y ) depende apenas de y e a integral de 0 é uma constante, então:

g x ,   y = y 2 t + c 1

g ( x , y ) é considerado uma constante.

y 2 t = c 2

y 2 = c 2 t

Resposta

y 2 = c 2 t