Nos Problemas 6.20 a 6.49, resolva as equações diferenciais indicadas.

Passo 1

As questões desse capítulo se resumem a equações diferenciais de primeira ordem, temos alguns passos para resolver uma questão por fator integrante. Mas nós vamos chegar lá, vou deixar cada passo explicado direitinho aqui em baixo.

A equação diferencial de primeira ordem tem a seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I x = e ∫ p ( x ) d x

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a função por ele.

I x y ' + p x I x y = I x q ( x )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( y I ) d x = I q ( x )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

y I = ∫ I q ( x ) d x

Na teoria está tudo muito bonito, mas precisamos de exemplos. Então vamos lá!!

Passo 2

A equação da vez é:

y ' + 3 x 2 y = 0

Encontrando o fator integrante.

I x = e ∫ 3 x 2 d x

I x = e x 3

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

e x 3 y ' + 3 x 2 e x 3 y = 0

Usando a regra da cadeia f g ' = f g ' + f ' g .

f = e x 3                             g = y

f ' = 3 x 2 e x 2                             g ' = y '

Substituindo na EDO.

e x 3 y ' = 0

Passando a derivada como uma integral do outro lado.

e x 3 y = ∫ 0 d x

e x 3 y = c

y = c e - x 3

Resposta

y = c e - x 3