Nos problemas 7-12, Resolva a equação.

Passo 1

Falaaa, aqui vamos nós mais uma vez!!

Nesta questão, vamos resolver por equação exata.

Primeiro vamos verificar se ela é exata, se for vamos direto para a resolução. Caso contrário, vamos achar o fator integrante que torna a EDO exata e resolve-la.

A equação exata tem a seguinte forma:

M (x , y) d x + N (x , y) d y = 0

E ela é exata se respeitar a relação abaixo.

(del M (x , y))/(del y) = (del N (x , y))/(del x)

Caso a função não seja exata, o fator integrante é dado por:

I (x) = e^(int p (x) d x)

Onde p ( x ) é:

p (x) = (del M // del y - del N // del x)/(N)

Depois de verificarmos se a EDO é exata ou acharmos o fator integrante, a solução será definida por:

int M (x , y) d x + int n (y) d y = 0

Onde n ( y ) são os termos de N ( x , y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A função do exemplo é:

(2 y^2 + 2 y + 4 x^2) d x + ( 2 x y + x ) d y = 0

Verificando se é exata:

(del (2 y^2 + 2 y + 4 x^2))/(del y) = (del (2 x y + x))/(del x)

4 y + 2 = 2 y + 1

A igualdade não é verdadeira, então temos que achar o fator integrante.

p (x) = (4 y + 2 - ( 2 y - 1 ))/(2 x y + x)

p (x) = (1)/(x)

Achando o fator integrante.

I = e^(int (1)/(x) d x)

I = e^(ln (x))

Usando propriedade logarítmica e^(b l n ( k )) = k^b .

I = x

Multiplicando todos os termos da EDO pelo fator integrante:

(2 y^2 x + 2 y x + 4 x^3) d x + ( 2 x^2 y + x^2 ) d y = 0

Achando a solução.

int (2 y^2 x + 2 y x + 4 x^3) d x + int 0 d y = 0

y^2 x^2 + y x^2 + x^4 = c

Pronto, resolvemos a EDO!!

Resposta

y^2 x^2 + y x^2 + x^4 = c