Nos problemas 7-12, Resolva a equação.

Passo 1

Falaaa, aqui vamos nós mais uma vez!!

Nesta questão, vamos resolver por equação exata.

Primeiro vamos verificar se ela é exata, se for vamos direto para a resolução. Caso contrário, vamos achar o fator integrante que torna a EDO exata e resolve-la.

A equação exata tem a seguinte forma:

M (x , y) d x + N (x , y) d y = 0

E ela é exata se respeitar a relação abaixo.

(del M (x , y))/(del y) = (del N (x , y))/(del x)

Caso a função não seja exata, o fator integrante é dado por:

I (y) = e^(int p (y) d y)

Onde p ( y ) é:

p (y) = (del N // del x - del M // del y)/(M)

Depois de verificarmos se a EDO é exata ou acharmos o fator integrante, a solução será definida por:

int M (x , y) d x + int n (y) d y = 0

Onde n ( y ) são os termos de N ( x , y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A função do exemplo é:

(y^2 + 2 x y) d x - x^2 d y = 0

Verificando se é exata:

(del (y^2 + 2 x y))/(del y) = (del (- x^2))/(del x)

2 y + 2 x = - 2 x

A igualdade não é verdadeira, então temos que achar o fator integrante.

p (y) = (- 2 x - 2 y - 2 x)/(y^2 + 2 x y)

p (y) = - (2)/(y)

Achando o fator integrante.

I = e^(- 2 int (1)/(y) d y)

I = e^(- 2 ln (y))

Usando propriedade logarítmica e^(b l n ( k )) = k^b .

I = (1)/(y^2)

Multiplicando todos os termos da EDO pelo fator integrante:

(1 + 2 x y^(- 1)) d x + (- x^2 y^(- 2)) d y = 0

Achando a solução.

int (1 + 2 x y^(- 1)) d x + int 0 d y = 0

x + x^2 y^(- 1) = c

Pronto, resolvemos a EDO!!

Resposta

x + x^2 y^(- 1) = c