Nos problemas 7-12, Resolva a equação.

Passo 1

Falaaa, aqui vamos nós mais uma vez!!

Nesta questão, vamos resolver por equação exata.

Primeiro vamos verificar se ela é exata, se for vamos direto para a resolução. Caso contrário, vamos achar o fator integrante que torna a EDO exata e resolve-la.

A equação exata tem a seguinte forma:

M (x , y) d x + N (x , y) d y = 0

E ela é exata se respeitar a relação abaixo.

(del M (x , y))/(del y) = (del N (x , y))/(del x)

Caso a função não seja exata, o fator integrante é dado por:

I (x) = e^(int p (x) d x)

Onde p ( x ) é:

p (x) = (del M // del y - del N // del x)/(N)

Depois de verificarmos se a EDO é exata ou acharmos o fator integrante, a solução será definida por:

int M (x , y) d x + int n (y) d y = 0

Onde n ( y ) são os termos de N ( x , y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A função do exemplo é:

(3 x^2 + y) d x + (x^2 y - x) d y = 0

Verificando se é exata:

(del (3 x^2 + y))/(del y) = (del (x^2 y - x))/(del x)

1 = 2 x y - 1

A igualdade não é verdadeira, então temos que achar o fator integrante.

p (x) = (1 - 2 x y + 1)/(x^2 y - x)

p (x) = (2 - 2 x y)/(x (x y - 1))

p (x) = - (2 (x y - 1))/(x (x y - 1))

p (x) = - (2)/(x)

Achando o fator integrante.

I = e^(- 2 int (1)/(x) d x)

I = e^(- 2 ln (x))

Usando propriedade logarítmica e^(b l n ( k )) = k^b .

I = (1)/(x^2)

Multiplicando todos os termos da EDO pelo fator integrante:

(3 + y x^(- 2)) d x + (y - x^(- 1)) d y = 0

Achando a solução.

int (3 + y x^(- 2)) d x + int y d y = 0

3 x - y x^(- 1) + (y^2)/(2) = c

Pronto, resolvemos a EDO!!

Resposta

3 x - y x^(- 1) + (y^2)/(2) = c