Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

r ' + p θ r = q ( θ )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I θ = e ∫ p ( θ ) d θ

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I θ r ' + p θ I θ r = I θ q ( θ )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( r I ) d θ = I q ( θ )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

r I = ∫ I q ( θ ) d θ

Na teoria está tudo muito bonito, mas precisamos de exemplos. Vamos lá!!

Passo 2

A função do exemplo é:

d r d θ + r t a n θ = sec ⁡ θ

r ' + r t a n θ = sec ⁡ θ

Achando o fator integrante.

I = e ∫ tan ⁡ θ d θ

I = e - ln ⁡ cos ⁡ θ

Usando propriedade logarítmica e b l n ( k ) = k b

I = 1 cos ⁡ θ

Agora, podemos simplificar usando a seguinte propriedade: 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

I = sec ⁡ θ

Multiplicando todos os termos da EDO pelo fator integrante.

sec ⁡ θ r ' + r s e c θ tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g .

f = sec ⁡ θ                                 g = y

f ' = s e c θ tan ⁡ θ                                 g = y '

Substituindo:

sec ⁡ θ r ' = sec 2 ⁡ θ

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

sec ⁡ θ r = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ

r = tan ⁡ θ + c

r = tan ⁡ θ + c sec ⁡ θ

E aqui acaba a nossa solução. Com um pouco de prática vamos longe!!!

Resposta

r = tan ⁡ θ + c sec ⁡ θ