Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I x = e ∫ p ( x ) d x

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I x y ' + p x I x y = I x q ( x )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( y I ) d x = I q ( x )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

y I = ∫ I q ( x ) d x

Na teoria está tudo muito bonito, mas precisamos de exemplos. Vamos lá!!

Passo 2

A função do exemplo é:

x 2 + 1 d y d x + x y - x = 0

d y d x + x x 2 + 1 y = x x 2 + 1

y ' + x x 2 + 1 y = x x 2 + 1

Achando o fator integrante.

I = e ∫ x x 2 + 1 d x

Usando integração por substituição:

u = x 2 + 1

d x = 1 2 x d u

Substituindo.

I = e 1 2 ∫ 1 u d u

I = e 1 2 ln ⁡ u

Usando propriedade logarítmica: e b l n ( k ) = k b .

I = x 2 + 1 1 / 2

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

x 2 + 1 1 / 2 y ' + x x 2 + 1 1 / 2 x 2 + 1 y = x x 2 + 1 1 / 2 x 2 + 1

x 2 + 1 1 / 2 y ' + x x 2 + 1 1 / 2 y = x x 2 + 1 1 / 2

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g .

f = x 2 + 1 1 / 2                                 g = y

f ' = x x 2 + 1 1 / 2                                 g = y '

Substituindo:

x 2 + 1 1 / 2 y ' = x x 2 + 1 1 / 2

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

x 2 + 1 1 / 2 y = ∫ x x 2 + 1 1 / 2 d x

Usando integração por substituição novamente.

u = x 2 + 1

d x = 1 2 x d u

Substituindo:

x 2 + 1 1 / 2 y = 1 2 ∫ 1 u 1 / 2 d u

x 2 + 1 1 / 2 y = x 2 + 1 1 / 2 + c

y = 1 + c x 2 + 1 1 / 2

E aqui acaba a nossa solução. Com um pouco de prática vamos longe!!!

Resposta

y = 1 + c x 2 + 1 1 / 2