Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I x = e ∫ p ( x ) d x

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I x y ' + p x I x y = I x q ( x )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( y I ) d x = I q ( x )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

y I = ∫ I q ( x ) d x

Na teoria está tudo muito bonito, mas precisamos de exemplos. Vamos lá!!

Passo 2

A função do exemplo é:

x d y d x + 3 y + x 2 = s e n x x

d y d x + 3 y x = s e n x x 2 - 3 x

y ' + 3 y x = s e n x x 2 - 3 x

Achando o fator integrante.

I = e 3 ∫ 1 x d x

I = e 3 ln ⁡ x

Usando propriedade logarítmica: e b l n ( k ) = k b .

I = x 3

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

x 3 y ' + 3 x 2 y = x s e n x - 3 x 4

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g .

f = x 3                                 g = y

f ' = 3 x 2                                 g = y '

Substituindo:

x 3 y ' = x s e n x - 3 x 4

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

x 3 y = ∫ x s e n x - 3 x 4 d x

x 3 y = s e n x - x c o s x - 3 x 5 5 + c

y = s e n x - x c o s x + c x 3 - 3 x 2 5

E aqui acaba a nossa solução. Com um pouco de prática vamos longe!!!

Resposta

y = s e n x - x c o s x + c x 3 - 3 x 2 5