Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I x = e ∫ p ( x ) d x

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I x y ' + p x I x y = I x q ( x )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( y I ) d x = I q ( x )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

y I = ∫ I q ( x ) d x

Na teoria está tudo muito bonito, mas precisamos de exemplos. Vamos lá!!

Passo 2

A função do exemplo é:

d y d x = y x + 2 x + 1

y ' - y x = 2 x + 1

Achando o fator integrante.

I = e - ∫ 1 x d x

I = e - ln ⁡ x

Usando propriedade logarítmica e b l n ( k ) = k b .

I = x - 1

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

x - 1 y ' + y x - 2 = 2 x + 1 x - 1

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g

f = x - 1                                 g = y

f ' = x - 2                                 g = y '

Substituindo:

x - 1 y ' = 2 x + 1 x - 1

x - 1 y ' = 2 + 1 x

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

x - 1 y = ∫ 2 + 1 x d x

x - 1 y = 2 x + ln ⁡ x + c

y = x ( 2 x + ln ⁡ x + c )

E aqui acaba a nossa solução. Com um pouco de prática vamos longe!!!

Resposta

y = x ( 2 x + ln ⁡ x + c )