Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p t y = q ( t )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I t = e ∫ p ( t ) d t

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I t y ' + p t I t y = I t q ( t )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( y I ) d t = I q ( t )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

y I = ∫ I q ( t ) d t

Na teoria está tudo muito bonito, mas precisamos de exemplos. Vamos lá!!

Passo 2

A função do exemplo é:

t + y + 1 d t - d y = 0

d y d t = t + y + 1

y ' - y = t + 1

Achando o fator integrante.

I = e - ∫ d t

I = e - t

Multiplicando todos os termos da EDO pelo fator integrante.

e - t y ' - e - t y = e - t t + 1

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g .

f = e - t                                 g = y

f ' = - e - t                               g = y '

Substituindo:

e - t y ' = e - t t + 1

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

e - t y = ∫ e - t t + 1 d t

e - t y = - e - t t + 1 - e - t + c

y = c e t - t - 2

E aqui acaba a nossa solução. Com um pouco de prática vamos longe!!!

Resposta

y = c e t - t - 2