Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

x ' + p y x = q ( y )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I y = e ∫ p ( y ) d y

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I y x ' + p y I y x = I y q ( y )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( x I ) d x = I q ( y )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

y I = ∫ I q ( y ) d y

Na teoria está tudo muito bonito, mas precisamos de exemplos. Vamos lá!!

Passo 2

A função do exemplo é:

y d x d y + 2 x = 5 y 3

x ' + 2 x y = 5 y 2

Achando o fator integrante.

I = e 2 ∫ 1 y d y

I = e 2 ln ⁡ y

Usando propriedade logarítmica: e b ln ⁡ k = k b

I = y 2

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

y 2 x ' + 2 y x = 5 y 4

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g .

f = y 2                                 g = x

f ' = 2 y                                 g = x '

Substituindo:

y 2 x ' = 5 y 4

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

y 2 x = ∫ 5 y 4 d x

y 2 x = y 5 + c

x = y 3 + c y 2

E aqui acaba a nossa solução. Com um pouco de prática vamos longe!!!

Resposta

x = y 3 + c y 2