Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

Aqui usaremos fator integrante para resolver a questão, e a melhor coisa é termos tudo esclarecido antes de irmos resolver a questão, concorda?? Então, aqui vai a explicação!!

A equação diferencial de primeira ordem pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

E para encontrar o fator integrante, usamos a fórmula abaixo:

I x = e ∫ p ( x ) d x

Após encontrarmos o fator integrante, multiplicamos toda a equação por ele.

I x y ' + p x I x y = I x q ( x )

E aí que está a jogada, o fator integrante faz com que possamos usar a regra da cadeia e a solução da EDO, fica:

d ( y I ) d x = I q ( x )

Jogando a derivada para o outro lado como uma integral.

y I = ∫ I q ( x ) d x

Na teoria está tudo muito bonito, mas precisamos de exemplos. Vamos lá!!

Passo 2

A função do exemplo é:

1 - x 2 d y d x - x 2 y = 1 + x 1 - x 2

d y d x - x 2 1 - x 2 y = 1 + x 1 - x 2

y ' + x 2 x 2 - 1 y = 1 + x 1 - x 2

Achando o fator integrante.

I = e ∫ x 2 x 2 - 1 d x

Simplificando:

I = e x   - x + 1 x + 1

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

e x   - x + 1 x + 1 y ' + e x   - x + 1 x + 1 x 2 x 2 - 1 y = e x   - x + 1 x + 1 1 - x 2

Usando a regra da cadeia: f g ' = f g ' + f ' g .

f = e x   - x + 1 x + 1                                 g = y

f ' = e x   - x + 1 x + 1 x 2 x 2 - 1                                   g = y '

Substituindo:

e x   - x + 1 x + 1 y ' = e x   - x + 1 x + 1 1 - x 2

Simplificando.

e x   - x + 1 x + 1 y ' = e x   - x + 1 x + 1 1 - x 2

e x   - x + 1 x + 1 y ' = e x   1 - x 2 1 - x 2

e x   - x + 1 x + 1 y ' = e x  

Agora, o que fazemos é passar a derivada para o outro lado como uma integral.

e x   - x + 1 x + 1 y = ∫ e x   d x

e x   - x + 1 x + 1 y = e x + c

y = 1 + e - x c x + 1   - x + 1

E aqui acaba a nossa solução. Com um pouco de prática vamos longe!!!

Resposta

y = 1 + e - x c x + 1   - x + 1