Nos problemas 7-16, resolva a equação.

dy/dx = x / (y^2 * raiz(1 + x))

Passo 1

E aí pessoal, vamos resolver esse problema bem rapidinho??

Primeiro vamos fazer as substituições necessárias e logo em seguida determinar as variáveis separáveis.

(d y)/(d x) = y^'

Agora vamos separar as variáveis:

y^' y^2 = (x)/(y^2 sqrt(1 + x)) y^2 -> y^' y^2 = (x)/(sqrt(1 + x))

Passo 2

Agora é moleza, vamos integrar cada lado da equação para resolver tudo rapidinho:

int y^' y^2 = int (x)/(sqrt(1 + x))

int (x)/(sqrt(1 + x)) d x = 2 ( (1)/(3) (1 + x )^((3)/(2)) - sqrt(1 + x)) + c_1 -> int 2 (u^2 - 1) d u -> 2 ( int u^2 d u - int 1 d u ) -> int u^2 d u = (u^3)/(3) -> int 1 d u = u

Vamos substituir tudo na equação

2 (((sqrt(1 + x))^3)/(3) - sqrt(1 + x))

Passo 3

Agora a gente isola o nosso amigo y e fica tudo lindo

(3 y^3)/(3) = 3 * 2 ((1)/(3) (sqrt(1 + x))^((3)/(2)) - sqrt(1 + x)) -> y ³ = root(3)(6 ( (1)/(3) ( 1 + x )^((3)/(2)) - sqrt(1 + x) ) )

Resposta

Assim teremos y ³ = root(3)(6 ( (1)/(3) ( 1 + x )^((3)/(2)) - sqrt(1 + x) ) ) como resposta para a E.D.O

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