Nos problemas 7-16, resolva a equação

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

x (d v)/(d x) = (1 - 4 v ²)/(3 v)

Resolvendo para v(x) pelo método de separação de variáveis.

(3 v)/(1 - 4 v ²) d v = x ⁻ ¹ d x

int_()^() (3 v)/(1 - 4 v ²) d v = int_()^() x ⁻ ¹ d x

u = 1 - 4 v ²

d u = - 8 v d v

- (d u)/(8) = v d v

- int_()^() (3)/(8) (1)/(u) d u

- (3)/(8) l n | u |

Passo 2

int_()^() (3 v)/(1 - 4 v ²) d v = - (3)/(8) l n | 1 - 4 v ² |

int_()^() (3 v)/(1 - 4 v ²) = l n ( 1 - 4 v ² )^(- 3 // 8)

A solução para v(x) tem duas soluções reais.

l n ( 1 - 4 v ² )^(- 3 // 8) = l n | x | + C

e^(l n ( 1 - 4 v ² )^(- 3 // 8)) = e^(l n | x | + C)

( 1 - 4 v ² )^(- 3 // 8) = C x

1 - 4 v ² = ( C x )^(- 8 // 3)

- 4 v ² = C x^(- 8 // 3) - 1

v ² = C x^(- 8 // 3) + (1)/(4)

v ( x ) = +- sqrt(C x^(- 8 // 3) + (1)/(4))

Resposta

v ( x ) = +- sqrt(C x^(- 8 // 3) + (1)/(4))