Nos problemas 7-16, resolva a equação.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

( x + x y ² ) d x + e^(x ²) y d y = 0

Configure as integrais para resolver y(x) usando o método de separação de variáveis.

(y)/(1 + y ²) d y = x e^(- x ²) d x

int_()^() (y)/(1 + y ²) d y = int_()^() x e^(- x ²) d x

Passo 2

Pegue a integral em relação a y usando a substituição u.

int_()^() (y)/(1 + y ²) d y

u = 1 + y ²

d u = 2 y d y

(1)/(2) d u = y d y

(1)/(2) int_()^() (1)/(u) d u

(1)/(2) l n | u |

(1)/(2) l n | 1 + y ² |

int_()^() (y)/(1 + y ²) d y = l n | ( 1 + y ² )^(1 // 2) |

Pegue a integral em relação a x usando a substituição u.

int_()^() x e^(- x ²) d x

u = - x ²

d u = - 2 x d x

- (1)/(2) d u = x d x

- (1)/(2) int_()^() e^u d u

- (1)/(2) e^u + C

int_()^() x e^(- x ²) d x = - (1)/(2) e^(- x ²) + C

Passo 3

Iguale os resultados de ambas as integrais entre si e resolva para y(x).

l n | ( 1 + y ² )^((1)/(2)) = - (1)/(2) e^(- x ²) + c_1

(1)/(2) l n | 1 + y ² | = - (1)/(2) e^(- x ²) + c_1

l n | 1 + y ² | = e^(- x ²) + c_2

1 + y ² = c e^(- x ²)

y ² = c e^(e^(- x ²)) - 1

y ( t ) = +- sqrt(c e^(e^(- x ²)) - 1)

Resposta

y ( t ) = +- sqrt(c e^(e^(- x ²)) - 1)