Nos problemas 7-16, resolva a equação

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Nós temos que

(d x)/(d t) - x ³ = x

(d x)/(d t) = x + x ³

(1)/(x + x ³) d x = d t

Integrando os dois lados,

int_()^() (1)/(x + x ³) d x = int_()^() d t

int_()^() (1)/(x ( 1 + x ² )) d x = int_()^() d t

int_()^() ( (1)/(x) - (x)/(x ² + 1) ) d x = int_()^() d t

O RHS é fácil de integrar, no entanto, o LHS precisa de um pouco de trabalho, onde

int_()^() ( (1)/(x) - (x)/(x ² + 1) ) d x = int_()^() (1)/(x) d x - int_()^() (x)/(x ² + 1) d x

= l n | x | - int_()^() (x)/(x ² + 1) d x

Passo 2

Usaremos o método de U-Substituição,

int_()^() (x)/(x ² + 1) d x

u = x ¹ + 1 -> d x = (1)/(2 x) d u

int_()^() (x)/(x ¹ + 1) d x = int_()^() (x)/(u) (1)/(2 x) d u

= (1)/(2) int_()^() (1)/(u) d u

= (1)/(2) l n | u |

= (1)/(2) l n | x ² + 1 |

Finalmente temos,

int_()^() ( (1)/(2) - (x)/(x ¹ + 1) ) d x = l n | x | - (l n | x ² + 1 |)/(2)

Usando a identidade logarítmica a l n ( x ) - b l n ( y ) = l n ( (x^a)/(y^b) ) , podemos simplificar

int_()^() ( (1)/(x) - (x)/(x ² + 1) ) d x = l n | x | - (l n | x ² + 1 |)/(2)

= l n ( (x)/(sqrt(x ² + 1)) )

Passo 3

Portanto, temos finalmente,

int_()^() (1)/(x + x ³) d x = int_()^() d t

l n ( (x)/(sqrt(x ² + 1)) ) = t + C_1

(x)/(sqrt(x ² + 1)) = e^(t + C_1)

(x)/(sqrt(x ² + 1)) = e^t e^(C_1)

( (x)/(sqrt(x ² + 1)) ) ² = ( e^t C ) ²

(x ²)/(x ² + 1) = e^(2 t) C

x ² = e^(2 t) C ( x ² + 1 )

x ² = e^(2 t) C x ² + e^(2 t) C

x ² - e^(2 t) C x ² = e^(2 t) C

x ² ( 1 - e^(2 t) C ) = e^(2 t) C

x ² = (e^(2 t) C)/(1 - e^(2 t) C)

x = +- sqrt((e^(2 t) C)/(1 - e^(2 t) C))

Resposta

x = +- sqrt((e^(2 t) C)/(1 - e^(2 t) C))