Nos problemas 7-16, resolva a equação.

10) dX / dt = t / (x * e^(1 + 2x))

Passo 1

E aí colega, bora para mais uma questão? Essa aqui pode nos dar mais trabalho do que as outras:

Primeiro vamos reescrever como uma EDO de primeira ordem com variáveis separáveis (de lei, né?)

x^' x e^(1 + 2 x) = (t)/(t e^(1 + 2 x)) x e^(1 + 2 x) -> x^' x e^(1 + 2 x) = t

Tudo bem? Agora vamos integrar cada lado da equação.

Passo 2

int x e^(1 + 2 x) d x = int t d t

int t d t = (t^(1 + 1))/(1 + 1) = (t^2)/(2)

int x e^(1 + 2 x) d x = int (1)/(2) e^(1 + 2 x) x - int (1)/(2) e^(1 + 2 x) -> (1)/(2) e^(1 + 2 x) x - (1)/(4) e^(1 + 2 x) = (t^2)/(2) + c

Passo 3

Agora só isolar o X. Aqui vamos usar a forma Lambert:

Primeiro reescrever na equação 2 x - 1 = u harr x = (u)/(2) + (1)/(2)

Ficando assim

e^(2 ((u)/(2) + (1)/(2)) + 1 ) ((1)/(2) ((u)/(2) + (1)/(2)) - (1)/(4)) = (1^2)/(2) + c -> (e^(u + 2) u)/(4) = (t^2)/(2) + c

Agora na forma Lambert teremos:

e^u u = ((2 t^2 + 4 c))/(e^2)

Por fim, só resolver:

Relembrando que a Solução geral para x e^x = a é a função multivalor Lambert W : x = W ( a )

Então:

u = W ((2 t^2 + 4 c))/(e^2) -> 2 X - 1 = W ((2 t^2 + 4 c))/(e^2) -> X = (W (((2 t^2 + c))/(e^2)))/(2) + (1)/(2)

Resposta

Temos então X = (W (((2 t^2 + c))/(e^2)))/(2) + (1)/(2) como resposta para essa EDO

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