Nos problemas 7-16, resolva a equação.

14) dy/dx = 3 * x² * (1 + y²)^(3/2)

Passo 1

E aí pessoal, vamos resolver essa aqui bem rapidinho?

Inicialmente podemos separar os termos:

(1)/(( 1 + y^2 )^((3)/(2))) (d y)/(d x) = 3 x^2 -> int (1)/(( 1 + y^2 )^((3)/(2))) d y = int 3 x ² d x

Agora vamos substituir y = t g theta -> (d y)/(d theta) = s e c ² theta

Passo 2

Substituindo na integral teremos:

int (1)/((sqrt(1 + y^2))^3) d y = int (1)/((sqrt(1 + t g^2 theta))^3) s e c^2 theta d theta -> int (s e c^2 theta)/((sqrt(s e c ² theta))^3) d theta = int (s e c^2 theta)/(s e c^3 theta) d theta = int (1)/(s e c theta) d theta = int c o s theta d theta = s e n theta -> (y)/(sqrt(1 + y^2))

Passo 3

Voltando para a equação:

(y)/(sqrt(1 + y^2)) = x^3 + c

Podemos achar uma solução explicita para y^2

y = (x^3 + c) sqrt(1 + y^2) :. y^2 = (x^3 + c)^2 (1 + y^2) = (x^3 + c)^2 + y^2 (x^3 + c)^2

:. y^2 (1 - (x^3 + c)^2) = (x^3 + c)^2 :. y^2 = ((x^3 + c)^2)/(1 - ( x^3 + c ) ²)

Resposta

Sendo resposta para essa EDO, temos:

y^2 = ((x^3 + c)^2)/(1 - ( x^3 + c ) ²) Curtiu a resolução?

Responde Aí