Nos problemas 7-16, resolva a equação.

15) y^(-1) dy + y e^(cos x) sen x dx = 0

Passo 1

E aí pessoal, vamos resolver essa aqui bem rapidinho?

Seja y a variável dependente, vamos dividir por dx e substituir dy/dx por y’:

y^(- 1) ((d y)/(d x)) + y e^(cos (x)) s e n (x) = 0 -> y^(- 1) y^' + y e^(cos (x)) s e n (x) = 0

Agora é só reescrever como um EDO de primeira ordem de variáveis separáveis:

y^(- 1) y^' + y e^(cos (x)) s e n (x) = 0 -> (y^(- 1))/(y) + e^(cos (x)) s e n (x) y - e^(cos (x)) s e n (x) y = 0 - e^(cos (x)) s e n (x) y

(y^')/(y) = - e^(cos (x)) s e n (x) y -> ((y^')/(y))/(y) = (- e^(cos (x)) s e n (x) y)/(y) -> (y^')/(y ²) = - e^(cos (x)) s e n (x)

Passo 2

Agora é só resolver:

int (1)/(y ²) d y = int - e^(cos (x)) s e n (x) d x -> int - e^(cos (x)) s e n (x) d x = e^(cos (x)) + c 1 -> int (1)/(y^2) d y = - (1)/(y) + c 2

Passo 3

Combinando as constantes teremos:

- (y)/(y) = e^(cos (x)) + c 1

Agora só isolar o y

y = - (1)/(e^(cos (x))) + c 1

Resposta

Sendo resposta para essa EDO, temos:

y = - (1)/(e^(cos (x))) + c 1

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