Nos problemas 9-13, determine se a relação dada é uma solução implícita para a equação diferencial dada. Considere que o relacionamento não define y implicitamente como uma função de x e use a diferenciação implícita.

Passo 1

Falaaa, belezaa??? Neste exercício precisamos derivar implicitamente a suposta solução e verificar se ela resulta na equação diferencial do enunciado, só isso!! Boraaa.

Passo 2

A função que supostamente é solução, é a seguinte:

s e n   y + x y - x 3 = 2

Derivando implicitamente.

d s e n   y + x y - x 3 d x = d 2 d x

y ' cos ⁡ y + x y ' + y - 3 x 2 = 0

y ' cos ⁡ y + x = 3 x 2 - y

y ' = 3 x 2 - y cos ⁡ y + x

A EDO do enunciado está representada na segunda derivada de y , vamos derivar mais uma vez.

y ' cos ⁡ y + x = 3 x 2 - y

d cos ⁡ y + x d x = d 3 x 2 - y d x

- y ' s e n   y + 1 y ' + cos ⁡ y + x y ' ' = 6 x - y '

cos ⁡ y + x y ' ' = 6 x - y ' + y ' 2 s e n   y - y '

y ' ' = 6 x - 2 y ' + y ' 2 s e n   y cos ⁡ y + x

Multiplicando em cima e embaixo por y ' .

y ' ' = 6 x - 2 y ' + y ' 2 s e n   y cos ⁡ y + x y ' y '

y ' ' = 6 x y ' - 2 y ' 2 + y ' 3 s e n   y ( cos ⁡ y + x ) y '

Substituindo o valor que tínhamos encontrado para a primeira derivada de y , no denominador.

y ' ' = 6 x y ' - 2 y ' 2 + y ' 3 s e n   y ( cos ⁡ y + x ) 3 x 2 - y cos ⁡ y + x

y ' ' = 6 x y ' - 2 y ' 2 + y ' 3 s e n   y 3 x 2 - y

Achamos uma equação diferencial igualzinha à do enunciado!! Logo, a função é solução da EDO.

Resposta

A função é solução.