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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill, Equações Diferenciais com aplicação- Ed: 10º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 6

Nos problemas 5 e 6, calcule y ' , y ' ' e combine estas derivadas c o m ⁡ y com uma equação linear de segunda ordem sem os símbolos c 1 e c 2 , da forma F y , y ' , y ' ' = 0 . Os símbolos c 1 e c 2 representam constantes.

y = c 1 e x c o s ⁡ x + c 2 e x s e n ⁡ x

Passo 1

Nos problemas 5 e 6, calcule y ' , y ' ' e combine estas derivadas c o m ⁡ y com uma equação linear de segunda ordem sem os símbolos c 1 e c 2 , da forma F y , y ' , y ' ' = 0 . Os símbolos c 1 e c 2 representam constantes.

y = c 1 e x c o s ⁡ x + c 2 e x s e n ⁡ x

a   p a r t i r   d e   y = c 1 c o s ⁡ ( l n ⁡ x ) + c 2 s i n ⁡ ( l n ⁡ x )   n ó s   o b t e m o s       y ' = 1 x ( c 2 c o s ⁡ ( l n ⁡ x ) - c 1 s i n ⁡ ( l n ⁡ x ) ] e y ' ' = - 1 x 2 c 1 c o s ⁡ ( l n ⁡ x ) + c 2 s i n ⁡ ( l n ⁡ x ) + c 2 c o s ⁡ ( l n ⁡ x ) - c 1 s i n ⁡ ( l n ⁡ x ) , então x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

Resposta

a   p a r t i r   d e   y = c 1 c o s ⁡ ( l n ⁡ x ) + c 2 s i n ⁡ ( l n ⁡ x )   n ó s   o b t e m o s       y ' = 1 x ( c 2 c o s ⁡ ( l n ⁡ x ) - c 1 s i n ⁡ ( l n ⁡ x ) ] e y ' ' = - 1 x 2 c 1 c o s ⁡ ( l n ⁡ x ) + c 2 s i n ⁡ ( l n ⁡ x ) + c 2 c o s ⁡ ( l n ⁡ x ) - c 1 s i n ⁡ ( l n ⁡ x ) , então x 2 y ' ' + x y ' + y = 0