Nos problemas 7 a 12 , calcule a derivada pedida diretamente de definição de derivada.

11. y = 2 / (x + 1), D_x y

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando qual a relação matemática vamos usar para o cálculo da derivada utilizando sua definição:

D x y = f ' x =   lim ∆ x → 0 ⁡ f x +   ∆ x - f ( x ) ∆ x

Preparado?

Então vamos a expressão acima para derivar y = 2 x + 1

f ' x =   lim ∆ x → 0 ⁡ f x +   ∆ x - f ( x ) ∆ x

f ' x =   lim ∆ x → 0   ⁡ 2 x +   ∆ x + 1 - 2 x + 1 ∆ x

f ' x =   lim ∆ x → 0   ⁡ 2 ( x + 1 ) ( x + ∆ x + 1 ) ( x + 1 ) - 2 ( x + ∆ x + 1 ) ( x + ∆ x + 1 ) ( x + 1 ) ∆ x

Tranquilo até aí?

Passo 2

Vamos continuar!

f ' x =   lim ∆ x → 0   ⁡ 2 x + 2 ( x + ∆ x + 1 ) ( x + 1 ) - 2 x + 2 ∆ x + 2 ( x + ∆ x + 1 ) ( x + 1 ) ∆ x

f ' x =   lim ∆ x → 0   ⁡ 2 x + 2 ( x + ∆ x + 1 ) ( x + 1 ) - 2 x + 2 ∆ x + 2 ( x + ∆ x + 1 ) ( x + 1 ) ∆ x

f ' x =   lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x + 2 - 2 x - 2 ∆ x - 2 ( x +   ∆ x + 1 ) ( x + 1 )     .   1 ∆ x

f ' x =   lim ∆ x → 0 ⁡ - 2 ∆ x ( x 2 + x ∆ x + 2 x + ∆ x + 1 )     .   1 ∆ x

f ' x =   lim ∆ x → 0 ⁡ - 2 ( x 2 + 2 x + 1 )    

f ' x =   lim ∆ x → 0 ⁡ - 2 ( x + 1 ) ²    

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

f ' x =   lim ∆ x → 0 ⁡ - 2 ( x + 1 ) ²