Nos problemas 7 a 12 , calcule a derivada pedida diretamente de definição de derivada.

12. h(t) = 1 / raiz(t + 1), h'(t)

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando qual a relação matemática vamos usar para o cálculo da derivada utilizando sua definição:

h ' t =   lim ∆ t → 0 ⁡ f t +   ∆ t - f ( t ) ∆ t

Preparado?

Então vamos a expressão acima para derivar h ( t ) = 1 t + 1

h ' t =   lim ∆ t → 0 ⁡ f t +   ∆ t - f ( t ) ∆ t

h ' t =   lim ∆ t → 0   ⁡ 1 t +   ∆ t + 1 - 1 t + 1 ∆ t

h ' t =   lim ∆ t → 0   ⁡ t + 1 ( t +   ∆ t + 1 ) ( t + 1 ) - t +   ∆ t + 1 t +   ∆ t + 1 ) ( t + 1 ) ∆ t

Tranquilo até aí?

Passo 2

Vamos continuar!

h ' t =   lim ∆ t → 0   ⁡ t + 1 - t +   ∆ t + 1 ( t 2 + t ∆ t + 2 t +   ∆ t + 1 ∆ t

Elevando tudo ao quadrado, vamos obter:

h ' t =   lim ∆ t → 0   ⁡ ( t + 1 - t +   ∆ t + 1 ) ² t 2 + t ∆ t + 2 t +   ∆ t + 1 ( ∆ t ) ²

h ' t =   lim ∆ t → 0   ⁡ 2 t + ∆ t - 2   t + 1   . t + ∆ t + 1 + 2 t 2 + t ∆ t + 2 t +   ∆ t + 1 ( ∆ t ) ²

Aplicando o limite

h ' t =   - 1 2 ( t + 1 ) 3 / 2

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

h ' t =   - 1 2 ( t + 1 ) 3 / 2