Nos problemas 7 a 12 , calcule a derivada pedida diretamente de definição de derivada.

8. s = t / (t + 1), ds / dt

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos relembrando qual a relação matemática vamos usar para o cálculo da derivada utilizando sua definição:

d s d t = f ' s =   lim ∆ t → 0 ⁡ f   t +   ∆ t - f ( t ) ∆ t

Preparado?

Então vamos a expressão acima para derivar f s = t t + 1

f ' s =   lim ∆ t → 0 ⁡ f   t +   ∆ t - f ( t ) ∆ t

f ' s =   lim ∆ t → 0   ⁡ (   t +   ∆ t ) t +   ∆ t + 1 - ( t t + 1 ) ∆ t

f ' s =   lim ∆ t → 0   ⁡ (   t +   ∆ t ) ( t + 1 ) ( t +   ∆ t + 1 ) ( t + 1 ) - t ( t +   ∆ t + 1 ) ( t +   ∆ t + 1 ) ( t + 1 ) ∆ t

Tranquilo até aí?

Passo 2

Vamos continuar!

f ' s =   lim ∆ t → 0   ⁡ t 2 + t + t ∆ t + ∆ t - t 2 - t ∆ t - t ( t +   ∆ t + 1 ) ( t + 1 ) ∆ t

f ' s =   lim ∆ t → 0   ⁡ ∆ t   t +   ∆ t + 1 t + 1 ∆ t

f ' s =   lim ∆ t → 0 ⁡ ∆ t   ( t +   ∆ t + 1 ) ( t + 1 )     .   1 ∆ t

f ' s =   lim ∆ x → 0 ⁡ 1 ( t 2 + t ∆ t + t + t + ∆ t + 1 )    

f ' s =   lim ∆ t → 0 ⁡ 1 ( t 2 + t ∆ t + 2 t + ∆ t + 1 )    

f ' s = lim ∆ t → 0 ⁡ 1 ( t 2 + 2 t + 1 )    

f ' s =   1 ( t + 1 ) ²  

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

f ' s =   1 ( t + 1 ) ²