Enunciado

Nos Problemas 3 - 6 encontre duas soluções em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário x = 0 . Compare as soluções em série com a soluções das equações diferenciais obtidas utilizando o método da Seção 4.3. Tente explicar eventuais diferenças entre as duas formas das soluções.

y ' ' + y = 0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação a seguir:

y ' ' + y = 0

Passo 2

l i m n → ∞   a n + 1 a n = l i m n → ∞   2 n + 1 x n + 1 / ( n + 1 ) 2 n x n / n = l i m n → ∞   2 n n + 1 | x | = 2 | x |

A série é absolutamente convergente para 2 | x | < 1 ou | x | < 1 / 2 . Em x = - 1 / 2 , a série ∑ k = 1 ∞   ( - 1 ) k k converge pela série alternativa de teste. Em x = 1 / 2 , a série ∑ k = 1 ∞   1 k é a série harmônica que diverge. Então, a série convergente dada em [ - 1 / 2,1 / 2 ) .

Resposta

A série é absolutamente convergente para 2 | x | < 1 ou | x | < 1 / 2 . Em x = - 1 / 2 , a série ∑ k = 1 ∞   ( - 1 ) k k converge pela série alternativa de teste. Em x = 1 / 2 , a série ∑ k = 1 ∞   1 k é a série harmônica que diverge. Então, a série convergente dada em [ - 1 / 2,1 / 2 ) .

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