Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill, Equações Diferenciais com aplicação - Capítulo 6.2 - Ex. 5

Nos Problemas 3 - 6 encontre duas soluções em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto ordinário x = 0 . Compare as soluções em série com a soluções das equações diferenciais obtidas utilizando o método da Seção 4.3. Tente explicar eventuais diferenças entre as duas formas das soluções.

y ' ' - y ' = 0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação a seguir:

y ' ' - y ' = 0

Passo 2

l i m n → ∞   a n + 1 a n = l i m n → ∞   ( x - 3 ) n + 1 / ( n + 1 ) 3 ( x - 3 ) n / n 3 = l i m n → ∞   n n + 1 3 | x - 3 | = | x - 3 |

A série é absolutamente convergente para | x - 3 | < 1   o u   e m   ( 2,4 ) . Em x=2, a série ∑ n = 1 ∞   ( - 1 ) n n 3 converge pela série alternativa de teste. E m   x = 4 ,   a   s é r i e   ∑ n = 1 ∞   1 n 3 é uma série convergente p. Assim, a série dada converge em [ 2,4 ]

Resposta

A série é absolutamente convergente para | x - 3 | < 1   o u   e m   ( 2,4 ) . Em x=2, a série ∑ n = 1 ∞   ( - 1 ) n n 3 converge pela série alternativa de teste. E m   x = 4 ,   a   s é r i e   ∑ n = 1 ∞   1 n 3 é uma série convergente p. Assim, a série dada converge em [ 2,4 ]

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