Nos problemas 13 e 14, encontre um fator integrante na forma x^n * y^m e resolva a equação.

Passo 1

O enunciado nos pede para supormos que x n y m é um fator integrante que torna a equação exata. Então, vamos multiplicar a EDO por essas variáveis e ir aplicando as condições de uma equação exata.

Depois de transformarmos a EDO em exata. Ela estará na seguinte forma:

M x , y d x + N x , y d y = 0

E a solução será definida por:

∫ M x , y d x + ∫ n y d y = 0

Onde n ( y ) são os termos de N ( x , y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A função do exemplo é:

2 y 2 - 6 x y d x + ( 3 x y - 4 x 2 ) d y = 0

Multiplicando todos os termos pelo suposto fator integrante:

2 x n y 2 + m - 6 x 1 + n y 1 + m d x + 3 x 1 + n y 1 + m - 4 x 2 + n y m d y = 0

Uma das condições de uma EDO exata é:

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Verificando a igualdade.

∂ 2 x n y 2 + m - 6 x 1 + n y 1 + m ∂ y = ∂ 3 x 1 + n y 1 + m - 4 x 2 + n y m ∂ x

2 2 + m x n y 1 + m - 6 1 + m x 1 + n y m = 3 1 + n x n y 1 + m - 4 2 + n x 1 + n y m

Como temos termos iguais que só variam no valor das constantes, então podemos montar o sistema de equações abaixo:

2 2 + m = 3 ( 1 + n )

- 6 1 + m = - 4 ( 2 + n )

Resolvendo o sistema, encontramos os seguintes valores.

n = 1   e   m = 1

Portanto, nosso fator integrante é x y

Multiplicando a EDO do enunciado pelo fator integrante encontrado.

2 x y 3 - 6 x 2 y 2 d x + 3 x 2 y 2 - 4 x 3 y d y = 0

Achando a solução com a fórmula do passo 1.

∫ 2 x y 3 - 6 x 2 y 2 d x + ∫ 0 d y = 0

x 2 y 3 - 3 x y 2 = c

Pronto, finalizamos a questão!!

Resposta

x 2 y 3 - 3 x y 2 = c