Nos problemas 13 e 14, encontre um fator integrante na forma x^n * y^m e resolva a equação.

Passo 1

O enunciado nos pede para supormos que x n y m é um fator integrante que torna a equação exata. Então, vamos multiplicar a EDO por essas variáveis e ir aplicando as condições de uma equação exata.

Depois de transformarmos a EDO em exata. Ela estará na seguinte forma:

M x , y d x + N x , y d y = 0

E a solução será definida por:

∫ M x , y d x + ∫ n y d y = 0

Onde n ( y ) são os termos de N ( x , y ) que dependem apenas de y .

Passo 2

A função do exemplo é:

12 + 5 x y d x + ( 6 x y - 1 + 3 x 2 ) d y = 0

Multiplicando todos os termos pelo suposto fator integrante:

12 x n y m + 5 x n + 1 y m + 1 d x + 6 x n + 1 y m - 1 + 3 x n + 2 y m d y = 0

Uma das condições de uma EDO exata é:

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Verificando a igualdade.

∂ 12 x n y m + 5 x n + 1 y m + 1 ∂ y = ∂ 6 x n + 1 y m - 1 + 3 x n + 2 y m ∂ x

12 m x n y m - 1 + 5 m + 1 x n + 1 y m = 6 n + 1 x n y m - 1 + 3 n + 2 x n + 1 y m

Como temos termos iguais que só variam no valor das constantes, então podemos montar o sistema de equações abaixo:

12 m = 6 ( n + 1 )

5 ( m + 1 ) = 3 ( n + 2 )

Resolvendo o sistema, encontramos os seguintes valores.

n = 3   e   m = 2

Portanto, nosso fator integrante é x 3 y 2

Multiplicando a EDO do enunciado pelo fator integrante encontrado.

12 x 3 y 2 + 5 x 4 y 3 d x + 6 x 4 y + 3 x 5 y 2 d y = 0

Achando a solução com a fórmula do passo 1.

∫ 12 x 3 y 2 + 5 x 4 y 3 d x + ∫ 0 d y = 0

3 x 4 y 2 + x 5 y 3 = c

Pronto, finalizamos a questão!!

Resposta

3 x 4 y 2 + x 5 y 3 = c