Nos problemas 7-9, encontre uma solução síncrona no formato A cos(Ωt) + B sen(Ωt) para a equação do oscilador forçado indicada usando o método do Exemplo 4 para resolver A e B .

y'' + 2y' + 4y = 6cos(2t) + 8sen(2t) Ω = 2

Passo 1

Faaalaa, meu querido/minha querida. Nesta questão vamos derivar a solução duas vezes e aplicar na EDO. Quando fizermos isso, vamos criar um sistema de equações igualando os coeficientes.

E é isso, para resolver o sistema de equações pode ser usado vários métodos, vamos lá!!

Passo 2

Derivando a solução.

y = A cos ⁡ 2 t + B   s e n   2 t

y ' = - 2 A   s e n   2 t + 2 B cos ⁡ 2 t

y ' ' = - 4 A cos ⁡ 2 t - 4 B   s e n   2 t

Aplicando na EDO.

- 4 A cos ⁡ 2 t - 4 B   s e n   2 t + 2 - 2 A   s e n   2 t + 2 B cos ⁡ 2 t + 4 A cos ⁡ 2 t + B   s e n   2 t = 6 cos ⁡ 2 t + 8 s e n   2 t

4 B c o s   2 t - 4 A s e n   2 t = 6 cos ⁡ 2 t + 8 s e n   2 t

Juntando os coeficientes iguais podemos montar o sistema de equações, neste caso os coeficientes são cos ⁡ 2 t e s e n   2 t

Passo 3

O sistema de equações fica:

                      4 B = 6           ( 1 )

                    - 4 A = 8           ( 2 )

Neste exemplo, igualar os coeficientes já nos dá os valores de A e B .

B = 3 2

A = - 2

Portanto, a nossa solução fica definida por:

y = - 2 cos ⁡ 5 t + 3 2   s e n   3 t

Resposta

y = - 2 cos ⁡ 5 t + 3 2   s e n   3 t