Nos problemas 7-9, encontre uma solução síncrona no formato A(Ωt) + B * sen(Ωt) para a equação do oscilador forçado indicada usando o método do Exemplo 4 para resolver A e B .

y'' + 2y' + 5y = -50 sen 5t Ω = 5

Passo 1

Faaalaa, meu querido/minha querida. Nesta questão vamos derivar a solução duas vezes e aplicar na EDO. Quando fizermos isso, vamos criar um sistema de equações igualando os coeficientes.

E é isso, para resolver o sistema de equações pode ser usado vários métodos, vamos lá!!

Passo 2

Derivando a solução.

y = A cos ⁡ 5 t + B   s e n   5 t

y ' = - 5 A   s e n   3 t + 5 B cos ⁡ 3 t

y ' ' = - 25 A cos ⁡ 3 t - 25 B   s e n   3 t

Aplicando na EDO.

- 25 A cos ⁡ 5 t - 25 B   s e n   5 t + 2 5 B cos ⁡ 5 t - 5 A   s e n   5 t + 5 A cos ⁡ 5 t + B   s e n   5 t = - 50   s e n   5 t

- 20 A + 10 B cos ⁡ 5 t + - 10 A - 20 B s e n   5 t = - 50   s e n   5 t

Juntando os coeficientes iguais podemos montar o sistema de equações, neste caso os coeficientes são cos ⁡ 5 t e s e n   5 t

Passo 3

O sistema de equações fica:

                      - 20 A + 10 B = 0           ( 1 )

                      - 10 A - 20 B = - 50           ( 2 )

Resolvendo o sistema:

A = B 2

Substituindo na equação (2).

- 10 B 2 - 20 B = - 50

B = 2

Como já temos uma fórmula de A em relação a B , basta substituirmos.

A = 1 2 2

A = 1

Portanto, a nossa solução fica definida por:

y = cos ⁡ 5 t + 2   s e n   3 t

Resposta

y = cos ⁡ 5 t + 2   s e n   3 t