Nos problemas 7-9, encontre uma solução síncrona no formato A cos(Ωt) + B sen(Ωt) para a equação do oscilador forçado indicada usando o método do Exemplo 4 para resolver A e B .

y'' + 2y' + 4y = 5 sen 3t Ω = 3

Passo 1

Faaalaa, meu querido/minha querida. Nesta questão vamos derivar a solução duas vezes e aplicar na EDO. Quando fizermos isso, vamos criar um sistema de equações igualando os coeficientes.

E é isso, para resolver o sistema de equações pode ser usado vários métodos, vamos lá!!

Passo 2

Derivando a solução.

y = A cos ⁡ 3 t + B   s e n   3 t

y ' = - 3 A   s e n   3 t + 3 B cos ⁡ 3 t

y ' ' = - 9 A cos ⁡ 3 t - 9 B   s e n   3 t

Aplicando na EDO.

- 9 A cos ⁡ 3 t - 9 B   s e n   3 t + 2 3 B cos ⁡ 3 t - 3 A   s e n   3 t + 4 ( A cos ⁡ 3 t + B   s e n   3 t ) = 5   s e n   3 t

- 5 A + 6 B cos ⁡ 3 t + - 6 A - 5 B s e n   3 t = 5   s e n   3 t

Juntando os coeficientes iguais podemos montar o sistema de equações, neste caso os coeficientes são cos ⁡ 3 t e s e n   3 t

Passo 3

O sistema de equações fica:

                      - 5 A + 6 B = 0           ( 1 )

                      - 6 A - 5 B = 5           ( 2 )

Resolvendo o sistema:

A = 6 B 5

Substituindo na equação (2).

- 6 6 B 5 - 5 B = 5

B = - 25 61

Como já temos uma fórmula de A em relação a B , basta substituirmos.

A = 6 5 - 25 61

A = - 30 61

Portanto, a nossa solução fica definida por:

y = - 30 61 cos ⁡ 3 t - 25 61 s e n   3 t

Resposta

y = - 30 61 cos ⁡ 3 t - 25 61 s e n   3 t