Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de x apenas ou de y apenas.

Passo 1

Antes de tudo, vamos deixar bem especificado como definir cada uma das equações que ele fala no enunciado.

Uma equação separável é definida pela equação genérica abaixo:

g y d y + f x d x = 0

Onde, g ( y ) depende apenas de y e f ( x ) apenas de x .

Uma equação linear, é uma equação que pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

Por fim, uma equação exata é:

M x , y d x + N x , y d y = 0

E deve obedecer a seguinte relação, a derivada parcial M x tem que ser igual a derivada N y .

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Caso a relação não seja verdadeira, teremos que encontrar um fator integrante que a torne exata.

A fórmula para o fator integrante é:

I = ∂ M / ∂ y - ∂ N / ∂ x N

Passo 2

A equação do nosso exemplo é:

2 x + y x - 1 d x + x y - 1 d y = 0

Não é uma equação separável, pois g ( y ) depende de x e f ( x ) depende de x .

Testando se pode ser escrita como uma EDO linear.

d y d x = - 2 x + y x - 1 x y - 1

Não é uma equação linear também.

Testando se é exata.

∂ 2 x + y x - 1 ∂ y = ∂ N x y - 1 ∂ x

x - 1 = y

A igualdade não é verdadeira, então não é exata e precisa de um fator integrante para se tornar.

Achando o fator integrante.

I = x - 1 - y x y - 1

I = 1 x 1 - x y x y - 1

I = - 1 x

Então, o fator integrante para tornar a equação exata depende apenas de x .

Resposta

Fator integrante depende apenas de x .