Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de x apenas ou de y apenas.

Passo 1

Antes de tudo, vamos deixar bem especificado como definir cada uma das equações que ele fala no enunciado.

Uma equação separável é definida pela equação genérica abaixo:

g y d y + f x d x = 0

Onde, g ( y ) depende apenas de y e f ( x ) apenas de x .

Uma equação linear, é uma equação que pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

Por fim, uma equação exata é:

M x , y d x + N x , y d y = 0

E deve obedecer a seguinte relação, a derivada parcial M x tem que ser igual a derivada N y .

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Caso a relação não seja verdadeira, teremos que encontrar um fator integrante que a torne exata.

A fórmula para o fator integrante é:

I = ∂ N / ∂ x - ∂ M / ∂ y M

Passo 2

A equação do nosso exemplo é:

y 2 + 2 x y d x - x 2 d y = 0

Essa equação não pode ser escrita como uma equação de variável separável e nem linear.

Agora vamos testar se é exata.

∂ y 2 + 2 x y ∂ y = ∂ - x 2 ∂ x

2 y + 2 x = - 2 x

A igualdade não é verdadeira, então temos que achar o fator integrante.

I = - 2 x - 2 y - 2 x y 2 + 2 x y

I = - 2 2 x + y y y + 2 x

I = - 2 y

Então, o fator integrante depende apenas de y .

Resposta

O fator integrante depende apenas de y .