Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de x apenas ou de y apenas.

Passo 1

Antes de tudo, vamos deixar bem especificado como definir cada uma das equações que ele fala no enunciado.

Uma equação separável é definida pela equação genérica abaixo:

g y d y + f x d x = 0

Onde, g ( y ) depende apenas de y e f ( x ) apenas de x .

Uma equação linear, é uma equação que pode ser escrita da seguinte forma:

y ' + p x y = q ( x )

Por fim, uma equação exata é:

M x , y d x + N x , y d y = 0

E deve obedecer a seguinte relação, a derivada parcial M x tem que ser igual a derivada N y .

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Caso a relação não seja verdadeira, teremos que encontrar um fator integrante que a torne exata.

A fórmula para o fator integrante é:

I = ∂ M / ∂ y - ∂ N / ∂ x N

Passo 2

A equação do nosso exemplo é:

2 y 3 + 2 y 2 d x + 3 y 2 x + 2 x y d y = 0

Reescrevendo a equação.

d x d y = - x y 3 y + 2 2 y 2 y + 1

d x d y + x y 3 y + 2 2 y 2 y + 1 = 0

Podemos notar que é uma EDO linear com x sendo a função incógnita.

Verificando se é separável.

1 x d x = - y 3 y + 2 2 y 2 y + 1 d y

Como as funções dependem unicamente da variável do diferencial que estão multiplicando, ela também é uma equação separável.

Agora vamos testar se é exata.

∂ 2 y 3 + 2 y 2 ∂ y = ∂ 3 y 2 x + 2 x y ∂ x

6 y 2 + 4 y = 3 y 2 + 2 y

A igualdade não é verdadeira, então temos que encontrar um fator integrante.

I = 6 y 2 + 4 y - 3 y 2 - 2 y 3 y 2 x + 2 x y

I = 3 y 2 + 2 y x 3 y 2 + 2 x

I = 1 x

Por fim, o fator integrante depende apenas de x .

Resposta

Linear, separável e o fator integrante depende de x .