Nos problemas 1-8, identifique (mas não resolva) a equação como homogênea, Bernoulli, coeficientes lineares ou da forma y' = G(ax + by) .

Passo 1

Que tal esclarecermos como é definido cada equação? Vamos lá!!

A equação pode ser dita como homogênea, se substituirmos x por x y e t por t y , e após essa substituição conseguirmos simplificar todos os y da função.

A equação de Bernoulli é uma equação da seguinte forma:

d x d t + P t x = Q t x n

A equação com coeficientes lineares é escrita como:

a 1 x + b 1 y + c 1 d x + a 2 x + b 2 y + c 2 d t = 0

Por fim, a equação da forma x ' = G ( a t + b x ) será obtida através de uma substituição.

Passo 2

A função do exemplo é:

2 t x d x + t 2 - x 2 d t = 0

Testando se é homogênea.

d x d t = x 2 - t 2 2 t x

Substituindo as variáveis.

d x d t = x y 2 - t y 2 2 t x y 2

d x d t = y 2 x 2 - t 2 2 t x y 2

d x d t = x 2 - t 2 2 t x

Então, a função é homogênea.

Verificando se é uma equação de Bernoulli.

d x d t = x 2 - t 2 2 t x

d x d t - 1 2 t x = - t 2 x - 1

Portanto, é uma equação de Bernoulli.

Resposta

Equação homogênea e Bernoulli.