Nos problemas 1-8, identifique (mas não resolva) a equação como homogênea, Bernoulli, coeficientes lineares ou da forma y' = G(a x + b y) .

Passo 1

Que tal esclarecermos como é definido cada equação? Vamos lá!!

A equação pode ser dita como homogênea, se substituirmos θ por θ t e y por y t , e após essa substituição conseguirmos simplificar todos os y da função.

A equação de Bernoulli é uma equação da seguinte forma:

d y d θ + P θ y = Q θ y n

A equação com coeficientes lineares é escrita como:

a 1 θ + b 1 y + c 1 d x + a 2 θ + b 2 y + c 2 d y = 0

Por fim, a equação da forma y ' = G ( a θ + b y ) será obtida através de uma substituição.

Passo 2

A função do exemplo é:

y 3 - θ y 2 d θ + 2 θ 2 y d y = 0

Testando se é homogênea.

d y d θ = y 3 - θ y 2 2 θ 2 y

Substituindo as variáveis.

d y d θ = ( y t ) 3 - θ t ( y t ) 2 2 ( θ t ) 2 y t

d y d θ = t 3 ( y 3 - θ y 2 ) 2 θ 2 y t 3

d y d θ = y 3 - θ y 2 2 θ 2 y

Então, a função é homogênea.

Verificando se é uma equação de Bernoulli.

2 θ 2 y d y d θ = - y 3 + θ y 2

d y d θ = - y 2 2 θ 2 + y 2 θ

d y d θ - 1 2 θ y = - 1 2 θ 2 y 2

Portanto, é uma equação de Bernoulli.

Resposta

Equação homogênea e Bernoulli.