Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill, Equações Diferenciais com aplicação - Capítulo 6.2 - Ex. 2

Nos Problemas 1 e 2 , sem realmente resolver a equações diferenciais dadas, encontre o limite inferior das soluções para o raio de convergência da série de potência sobre o ponto x = 0 e sobre x = 1

x 2 - 2 x + 10 y ' ' + x y ' - 4 y = 0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação a seguir:

x 2 - 2 x + 10 y ' ' + x y ' - 4 y = 0

Passo 2

l i m n → ∞   a n + 1 a n = l i m n → ∞   x n + 1 / ( n + 1 ) 2 x n / n 2 = l i m n → ∞   n n + 1 2 | x | = | x |

A série é absolutamente convergente em ( - 1,1 ) , Em x = - 1 ,a série ∑ r = 1 ∞   ( - 1 ) n n converge pelo teste de séries alternadas. Em x =1, a série ∑ n = 1 ∞   1 n 2     é uma p-série cpnvergente. Assim, a série dada converge em [ - 1,1 ]

Resposta

A série é absolutamente convergente em ( - 1,1 ) , Em x = - 1 ,a série ∑ r = 1 ∞   ( - 1 ) n n converge pelo teste de séries alternadas. Em x =1, a série ∑ n = 1 ∞   1 n 2     é uma p-série cpnvergente. Assim, a série dada converge em [ - 1,1 ]

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