Produtos vetoriais e escalares Prove ou forneça um contraexemplo para a fórmula:

u → × ( u → × ( u → × ( u → × v → ) ) ) ⋅ w → = - | u → |^2 u → ⋅ v → × w →

Passo 1

E aí, galera! Tudo beleza?

O enunciado pede para a gente provar a fórmula ou fornecer um contraexemplo. Spoiler: a fórmula está correta! Então, temos que prová-la. Vamos lá?

Vamos começar utilizando a propriedade

a → × ( b → × c → ) = ( a → ⋅ c → ) b → - ( a → ⋅ b → ) c →

Dá pra usar essa fórmula assim

a → × ( b → × c → ) = b → ( a → ⋅ c → ) - c → ( a → ⋅ b → )

Por isso a gente chama ela de BAC CAB. Assim fica mais fácil de lembrar, não é mesmo?

Passo 2

Fazendo a → = b → = u → ,   c → = v → , no BAC CAB, nós obtemos

u → × ( u → × v → ) = u → ( u → ⋅ v → ) - v → ( u → ⋅ u → ) = u → ( u → ⋅ v → ) - v → | u → | 2

Agora, fazemos o produto vetorial desse resultado com u → :

u → × ( u → × ( u → × v → ) ) = u → × u → ( u → ⋅ v → ) - u → × v → | u → | 2

Como o produto vetorial entre o mesmo vetor zera ( u → × u → = 0 → ), temos

u → × ( u → × ( u → × v → ) ) = - u → × v → | u → | 2

Passo 3

Fazendo o produto interno desse resultado com w → , obtemos

u → × ( u → × ( u → × v → ) ) ⋅ w → = - u → × v → | u → | 2 ⋅ w →

u → × ( u → × ( u → × v → ) ) ⋅ w → = - | u → | 2 u → × v → ⋅ w →

Agora, temos que lembrar que da propriedade

u → × v → ⋅ w → = u → ⋅ v → × w →

Então, chegamos na prova da fórmula

u → × ( u → × ( u → × v → ) ) ⋅ w → = - | u → | 2 u → ⋅ v → × w →

Prontinho, aí está a prova. Gostou? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.