Um projétil é lançado verticalmente para cima e está a s metros acima do solo t segundos depois de ser lançado, onde s = 256t - 16t^2 . Calcule:

(a) A velocidade do projétil 4 segundos após o lançamento.

Passo 1

Temos que a velocidade instantânea de um objeto pode ser obtida analisando velocidades médias para pequenos intervalos de tempo ( Δ t → 0 ) . A velocidade média pode ser obtida como:

Δ s Δ t =   s f - s t f - t = s ( t f ) - s ( t ) t 2 - t

Lembrando que Δ t   =   t f - t , podemos escrever a expressão acima como:

Δ s Δ t = s ( t + Δ t   ) - s ( t ) Δ t

E, portanto, em um limite que o intervalo Δ t → 0 , temos:

v i n s t = l i m Δ t → 0 Δ s Δ t =   l i m Δ t → 0 s ( t + Δ t ) - s ( t ) Δ t

Passo 2

Temos então que em um instante de tempo t = 4 segundos, temos:

s ( 4 + Δ t ) = 256 ( 4 + Δ t ) - 16 ( 4 + Δ t ) 2

s ( 4 )   = 256 ( 4 ) -   16 ( 4 ) 2 =   768   m

De forma que:

v i n s t = l i m Δ t → 0 256 ( 4 + Δ t ) - 16 ( 4 + Δ t ) 2 - 768 Δ t

Passo 3

Expandindo o produto notável temos:

v i n s t = l i m Δ t → 0 256 ( 4 + Δ t ) - 16 ( 16 + 8 Δ t + Δ t 2 ) - 768 Δ t = l i m Δ t → 0 128 Δ t - 16 Δ t 2 Δ t

Simplificando Δ t temos que:

v i n s t   =   l i m Δ t → 0 128   - 16   Δ t = 128   m s

Resposta

Portanto:

v i n s t   = 128   m s