Um projétil é lançado verticalmente para cima e está a s metros acima do solo t segundos depois de ser lançado, onde s = 256t - 16t^2 . Calcule:

(b) O tempo em segundos necessário para que o projétil atinja a sua altura máxima (no ponto em que sua velocidade é 0 metro por segundo).

Passo 1

Temos que a velocidade em todo instante de tempo é tal que:

v i n s t = l i m Δ t → 0 Δ s Δ t =   l i m Δ t → 0 s ( t + Δ t ) - s ( t ) Δ t

A altura máxima é atingida quando a velocidade se anula no topo da trajetória. (Imagine você mesmo jogando uma pedra para cima, ela sobe até certo ponto, então ela para, e volta a cair). Portanto:

0 = l i m Δ t → 0 Δ s Δ t =   l i m Δ t → 0 s ( t + Δ t ) - s ( t ) Δ t

Passo 2

Temos então que em um instante de tempo qualquer:

s ( t + Δ t ) = 256 ( t + Δ t ) - 16 ( t + Δ t ) 2

De forma que:

0 = l i m Δ t → 0 256 ( t + Δ t ) - 16 ( t + Δ t ) 2 - 256 t + 16 t 2 Δ t

Passo 3

Expandindo o produto notável temos:

0 = l i m Δ t → 0 256 ( t + Δ t ) - 16 ( t 2 + 2 t Δ t + Δ t 2 ) - 256 t + 16 t 2 Δ t = l i m Δ t → 0 256 Δ t - 32 t Δ t - 16 Δ t 2 Δ t

Simplificando Δ t temos que:

0   =   l i m Δ t → 0 256 - 32 t   - 16   Δ t = 256   -   32 t

256   -   32 t   =   0   →   32 t   =   256   →   t   =   256 32 = 8   s

Resposta

Portanto:

t   = 256 32 = 8   s