Provar que x * (∂z/∂x) + y * (∂z/∂y) = 2z se:

(a) z = (x – 2y)2

(b) z = (x4 + y4)1/2

Passo 1

Para provar o que se pede, primeiramente temos que achar as derivadas parciais mencionadas e depois substituir na relação pedida.

Na letra (a):

- Achando ∂ z ∂ x :

z = x - 2 y 2 → ∂ z ∂ x = 2 . x - 2 y . 1 = 2 x - 4 y → ∂ z ∂ x = 2 x - 4 y  

- Achando ∂ z ∂ y :

z = x - 2 y 2 → ∂ z ∂ y = 2 . x - 2 y . - 2 = - 4 x + 8 y → ∂ z ∂ y = - 4 x + 8 y

-Substituindo, temos:

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = x .   2 x - 4 y + y . - 4 x + 8 y = 2 x 2 - 4 x y - 4 x y + 8 y 2 =

= 2 x 2 - 4 x y + 8 y 2 =   2 .   x 2 - 2 x y + 4 y 2 = 2 . x - 2 y 2 = 2 z    

Logo, provamos a letra a).

Passo 2

Na letra (b):

- Achando ∂ z ∂ x :

z = x 4 + y 4 1 2 → ∂ z ∂ x = 1 2 x 4 + y 4 - 1 2 . ( 4 x 3 ) → ∂ z ∂ x = 2 x 3 x 4 + y 4  

- Achando ∂ z ∂ y :

z = x 4 + y 4 1 2 → ∂ z ∂ y = 1 2 x 4 + y 4 - 1 2 . ( 4 y 3 ) → ∂ z ∂ x = 2 y 3 x 4 + y 4  

-Substituindo, temos:

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = x .   2 x 3 x 4 + y 4 + y . 2 y 3 x 4 + y 4 = 2 x 4 + 2 y 4 x 4 + y 4 = 2 .   x 4 + y 4 1 - 1 2 =

= 2 .   x 4 + y 4 1 2 = 2 z

Logo, provamos para a letra (b) também.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)