Provar que o teorema de Cauchy pode escrever-se na forma:

f(x + h) = f(x) + h * f'(x + θh), onde 0 < θ < 1.

Determinar theta em função de x e h quando:

a. f(x) = x^2

b. f(x) = x^3

Fixar x, x ≠ 0 , e calcular, em cada caso, o limite de theta quando h → 0

Passo 1

Bom, a ideia é pegar uma f contínua em [ a , b ] e diferenciável em ( a , b ) e provar que saindo de f ' c = f b - f ( a ) b - a para algum c   e n t r e   a , b conseguimos chegar na equação do enunciado.

Tomando a = x e b = x + h para algum h > 0

a < c < b   → x < c < x + h

Ou seja, podemos escrever c = x + θ h ,   p a r a   u m   θ   ∈ ( 0,1 ) .

Passo 2

Vamos substituir os valores em f ' c :

f ' c = f x + h - f ( x ) b - a = f ' ( x + θ h )

S u b s t i t u i n d o   b - a   p o r   h :

h f ' x + θ h + f x = f x + h

                                                                                                                                              ∎

Vamos agora para o item a:

f x = x 2     → f ' x = 2 x

S u b s t i t u i n d o   n a   e q u a ç ã o   h f ' x + θ h + f x = f x + h   :

x + h 2 = h 2 x + θ h + x 2

h 2 = 2 θ h 2

θ = 1 2

lim h → 0 ⁡ θ = 1 2

Passo 3

Vamos agora para o item (b):

f x = x 3   → f ' x = 3 x 2

S u b s t i t u i n d o   n a   e q u a ç ã o   h f ' x + θ h + f x = f x + h   :

x + h 3 = x 3 + h 3 + 3 x 2 h + 3 h 2 x = h 3 x + θ h 2 + x 3

x 3 + h 3 + 3 x 2 h + 3 h 2 x = 3 x 2 h + 3 h 3 θ 2 + 6 θ x h 2 + x 3

0 = h θ 2 + 2 x θ + - x - h 2 3

Vamos agora fazer Bhaskara em θ :

θ = - 2 x   ±   2 x 2 - 4 ( h ) ( - x - h 2 3 ) 2 h

θ = - 2 x   ±   4 x 2 + 4 h x + 4 h 2 3 2 h

θ = - x   ± x 2 + x h + h 2 3 h

C o m o   θ > 0   v a m o s     t i r a r   a   r e s p o s t a   c o m - ∆ .

θ = - x + x 2 + x h + h 2 3 h = x 2 + x h + h 2 3 - x h

θ = x 2 + x h + h 2 3 - x   ∙ x 2 + x h + h 2 3 + x h x 2 + x h + h 2 3 + x

θ = x 2 + x h + h 2 3 - x 2 h x 2 + x h + h 2 3 + x

θ = x h + h 2 3 h x 2 + x h + h 2 3 + x

θ = x + h 1 3 x 2 + x h + h 2 3 + x

Agora fica direto o limite de θ

lim h → 0 ⁡ θ = 1 2

Resposta

a )   θ = 1 2   e lim h → 0 ⁡ θ = 1 2

b )   θ = x + h 1 3 x 2 + x h + h 2 3 + x   e   lim h → 0 ⁡ θ = 1 2