Provar que entre todos os retângulos de determinada área, o quadrado é o que tem menor perímetro.
Passo 1
Nessas questões que precisamos minimizar ou maximizar uma grandeza, iremos sempre escrever a fórmula da grandeza (ou alguma relação matemática com ela) e depois iremos derivar e igualar a zero para achar os pontos críticos dessa função (máximos ou mínimos).
Assim, para achar o retângulo de menor perímetro, primeiro iremos escrever o perímetro de um retângulo genericamente, logo:
Considerando x e y a base e a altura do retângulo.
Além disso, o enunciado nos garante que todos os retângulos possuem uma área determinada, logo, podemos chamar essa área de A e escrever o Perímetro em função dela.
Passo 2
Feito isso, iremos derivar o perímetro em relação a x e igualar isso a zero para achar o mínimo da função.
Derivando, temos:
Igualando a zero, temos:
Assim,
Logo, provamos que, fixando a área, o retângulo de menor perímetro será um quadrado.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)