Provar que entre todos os retângulos de determinada área, o quadrado é o que tem menor perímetro.

Passo 1

Nessas questões que precisamos minimizar ou maximizar uma grandeza, iremos sempre escrever a fórmula da grandeza (ou alguma relação matemática com ela) e depois iremos derivar e igualar a zero para achar os pontos críticos dessa função (máximos ou mínimos).

Assim, para achar o retângulo de menor perímetro, primeiro iremos escrever o perímetro de um retângulo genericamente, logo:

P = 2 . b a s e + 2 . a l t u r a = 2 x + 2 y

Considerando x e y a base e a altura do retângulo.

Além disso, o enunciado nos garante que todos os retângulos possuem uma área determinada, logo, podemos chamar essa área de A e escrever o Perímetro em função dela.

A = x . y → y = A x →  

P = 2 x + 2 .   A x → P = 2 x + 2 A x

Passo 2

Feito isso, iremos derivar o perímetro em relação a x e igualar isso a zero para achar o mínimo da função.

P = 2 x + 2 A . x - 1

Derivando, temos:

P ' = 2 - 1.2 A .   x - 1 - 1 =   2 - 2 A .   x - 2 = 2 - 2 A x 2

Igualando a zero, temos:

P ' = 2 - 2 A x 2 = 0 →   2 = 2 A x 2 → x 2 = A

Assim,

x 2 = A x . y = A → x = y → Q u a d r a d o

Logo, provamos que, fixando a área, o retângulo de menor perímetro será um quadrado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)