Prove lo_g(a)(x^y) = y * lo_g(a)(x) e log_a(x) = log_a(x) - log_a(y)

Passo 1

Fala pessoal do Responde Aí, tudo certo?!

Hoje vamos fazer aquele tipo de exercício favorito: DEMONSTRAR propriedades.

Então começaremos provando que l o g_a (x^y) = y l o g_a x , defina m = l o g_a ( x^y ) , então m satisfaz a^m = x^y . Sabendo que podemos escrever l o g_a x = a^(l o g_a x ) pois AA x > 0 : a^(l o g_a x ) = x . Daí temos,

a^m = x^y = ( a^(l o g_a x ) )^y = a^(y l o g_a x )

Portanto, m = y l o g_a x => l o g_a ( x^y ) = y l o g_a x .

Passo 2

De maneira análoga para provar l o g_a (x)/(y) = l o g_a x - l o g_a y , escreva p = l o g_a (x)/(y) , sabendo que x = a^(l o g_a x ) e y = a^(l o g_a y ) segue,

a^p = (x)/(y) = (a^(l o g_a x ))/(a^(l o g_a y )) = a^(l o g_a x - l o g_a y )

Logo, p = l o g_a x - l o g_a y => l o g_a (x)/(y) = l o g_a x - l o g_a y .

Resposta

Segue as demonstrações das propriedades nos passos acima.