Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão ele pede para provar que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Para provarmos que o conjunto dos polinômios e algébricos com coeficientes inteiros e enumerável,

Temos que a correspondência que associa ao polinômio p x = a 0 + a 1 x + … + a n x n com a lista ( a 0 ,   a 1 ,   … ,   a n ) sendo uma bijeção entre os conjuntos p n dos polinômios de coeficientes inteiros e graus ≤ n e o produto cartesiano,

Z n + 1   = Z x … x Z , logo,

p n é enumerável

E o conjunto p = U n = 0 ∞ p n dos polinômios com coeficientes inteiros e enumerável para cada número algébrico α sendo p um elemento finito. Logo A é enumerável.

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

A   é enumerável