Enunciado

Prove que a função dada é continua no conjunto B dado.

c )   f x = ∑ n = 1 + ∞ 2 n x n n ! ,   B = R

Passo 1

Neste problema, utilizaremos o teste da razão.

Sendo:

a n = 2 n n !

Devemos analisar a n + 1 :

a n + 1 = 2 n + 1 ( n + 1 ) !

Passo 2

Aplicando o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 ! 2 n n ! = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 ( n + 1 ) ! ⋅ n ! 2 n

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 ⋅ n ! ⋅ n ! 2 n

Dividindo os termos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 = 0

Como o limite foi igual a 0, temos que a série é continua e converge para x ∈   R .

Resposta

f ( x ) é convergente e contínua no conjunto B = R

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