Enunciado

Prove que se o raio de convergência da série de potências ∑ n = 1 + ∞ u n x n por r , então o raio de convergência da série ∑ n = 1 + ∞ u n x 2 n será r

Passo 1

Simbora galera, pra mais uma nova questão quentinha direto do forno

Devemos considerar que o raio de convergência da série ∑ n = 1 + ∞ u n x n é r , a partir disso devemos analisar através do teorema onde a série de potências  ∑ n = 0 + ∞ c n x n seja que existe um número R > 0 tal que a série é absolutamente convergente para todos os valores de x para os quais x < R e é divergente para todos os valores de x para os x > R .

Bora lá pra questão

Passo 2

Vou tentar explicar em dois momentos

  1. Se x 1 < r , quando x 1 2 < r   , então a série
  2. ∑ n = 1 + ∞ u n x 1 2 n = ∑ n = 1 + ∞ u n x 1 2 n

    Logo ela será uma série convergente

  3. Se x 2 > r , quando x 1 2 > r   , então a série

∑ n = 1 + ∞ u n x 2 2 n = ∑ n = 1 + ∞ u n x 2 2 n

Dessa vez para esse domínio ela é divergente

Assim, comparando os valores obtidos em 1) temos r ≤ r _   e de 2) temos   r ≥ r _

Portanto o raio de convergência r _ = r

Resposta

Portanto o raio de convergência r _ = r

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