Prove que a “taxa de convergência” para o método de Euler no problema 12 é comparável com mostrando que
[Dica: Use a regra de L’Hôpital e a expansão de Maclaurin para .]
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida!! Para resolvermos este exercício vamos fazer algumas manipulações, até simplificarmos nosso limite.
Passo 2
Nosso limite é o seguinte:
Fazendo uma mudança de variável:
Então, quando tende ao infinito tende a zero.
Onde .
Usando L’Hôpital, encontramos:
Encontrando .
Colocando dos dois lados.
Derivando implicitamente, encontramos a seguinte equação:
Usando a expansão dita pelo enunciado.
Obtemos a seguinte expressão agora:
Por fim, substituindo no limite que havíamos definido.
Pronto, provamos!!!
Resposta
Resolução nos passos anteriores.