Prove que a “taxa de convergência” para o método de Euler no problema 12 é comparável com 1 / n mostrando que

lim n → ∞ ⁡ e - y n 1 / n = e 2

[Dica: Use a regra de L’Hôpital e a expansão de Maclaurin para ln ⁡ 1 + t .]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Para resolvermos este exercício vamos fazer algumas manipulações, até simplificarmos nosso limite.

Passo 2

Nosso limite é o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ e - y n 1 / n

Fazendo uma mudança de variável:

t = 1 n

Então, quando n tende ao infinito t tende a zero.

lim n → ∞ ⁡ e - y n 1 / n = lim t → 0 ⁡ e - y t t

Onde y t = 1 + t 1 / t .

Usando L’Hôpital, encontramos:

lim t → 0 ⁡ e - y t t = lim t → 0 ⁡ - y t '

Encontrando y t ' .

y t = 1 + t 1 / t

Colocando l n dos dois lados.

ln ⁡ y t = 1 t ln ⁡ 1 + t

Derivando implicitamente, encontramos a seguinte equação:

y t ' = y t t 1 1 + t - ln ⁡ 1 + t t

Usando a expansão dita pelo enunciado.

ln ⁡ 1 + x = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + …

Obtemos a seguinte expressão agora:

y t ' = y t t 1 1 + t - 1 + t 2 - t 2 3 + t 3 4 - …

y t ' = y t t - 1 1 + t + 1 2 - t 3 + t 2 4 - …

Por fim, substituindo no limite que havíamos definido.

lim t → 0 ⁡ - y t '

lim t → 0 ⁡ y t t - 1 1 + t + 1 2 - t 3 + t 2 4 - …

- lim t → 0 ⁡ 1 + t 1 / t . lim t → 0 ⁡ - 1 1 + t + 1 2 - t 3 + t 2 4 - …

- e . - 1 2

lim n → ∞ ⁡ e - y n 1 / n = e 2

Pronto, provamos!!!

Resposta

Resolução nos passos anteriores.