(a) Prove que M dx + N dy = 0 tem um fator integrante que depende da soma de x + y se e somente se a expressão

∂N/∂x - ∂M/∂y / M - N

Depender somente de x + y .

(b) Use o item (a) para resolver a equação (3 + y + xy) dx + (3 + x + xy) dy = 0 .

Passo 1

Falaaa, minha pedra brilhante!!! Tudo bem??

Nesta questão vamos usar algumas identidades de EDO exatas para provar o que ele nos pede na letra (a).

Já na letra (b) apenas vamos usar a receita de bolo que criamos na (a). Bora lá!!

Passo 2

Se I ( x , y ) depende apenas da soma de x + y , então:

∂ ∂ y ∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ∂ F ∂ y

Multiplicando uma equação exata genérica por I .

I x , y M d x + I x , y N d y = 0

Agora, fazendo as derivadas parciais da equação acima:

∂ F ∂ x = I x , y M

Derivando a função em relação a y , que é o que a equação exata pede.

∂ ∂ y ∂ F ∂ x = I x , y ∂ M ∂ y + M ∂ I ∂ y

Fazendo a mesma coisa com a derivada parcial em y .

∂ F ∂ y = I x , y N

Agora, derivando em relação a x .

∂ ∂ x ∂ F ∂ y = I x , y ∂ N ∂ x + N ∂ I ∂ x

E o que a equação exata nos pede, é a fórmula que já definimos acima:

∂ ∂ y ∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ∂ F ∂ y

Substituindo os valores de cada lado:

I x , y ∂ M ∂ y + M ∂ I ∂ y = I x , y ∂ N ∂ x + N ∂ I ∂ x

Isolando I .

I x , y ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x = N ∂ I ( x + y ) ∂ x - M ∂ I ( x + y ) ∂ y

Derivando x + y parcialmente em relação a x sobra 1 e a mesma coisa em relação a y .

I x , y ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x = I ' x ,   y N - M

I ' x ,   y I x , y = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N - M

Achamos exatamente o que a letra (a) nos pede. O fator integrante depende da equação do enunciado.

I ' x , y I x , y = H x + y

I ' x , y I x , y = H v

Então, se v depende da soma de x + y , integrando os dois lados temos:

I = e ∫ H ( v ) d v

Passo 3

Agora, vamos achar a solução da equação abaixo com o fator integrante.

3 + y + x y d x + 3 + x + x y d y = 0

Vamos calcular o H ( x , y ) para colocar na formula do fator integrante depois:

H x y = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N - M

Calculando as derivadas de M e N .

∂ M ∂ y = 1 + x

∂ N ∂ x = 1 + y

Colando na fórmula de H ( x , y ) .

H x y = 1 + x - 1 + y ( 3 + x + x y ) - 3 + y + x y

H x y = x - y x - y

H x y = 1

Usando a última fórmula que definimos no passo 2, onde v = x y .

I = e ∫ H ( v ) d v

I = e ∫ 1 d v

I = e x + y

Achamos nosso fator integrante, agora podemos resolver a EDO do enunciado como uma equação exata.

3 + y + x y d x + 3 + x + x y d y = 0

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

e x + y 3 + y + x y d x + e x + y 3 + x + x y d y = 0

A solução implícita é dada por:

F x ,   y = ∫ M ( x ,   y ) d x + ∫ n ( y ) d y

Onde n ( y ) são os termos de N ( x , y ) que dependem apenas de y .

F x , y = ∫ e x + y 3 + y + x y d x + ∫ 0 d y

Com o fator integrante multiplicando todos os termos, não tem termo que depende só de y em N ( x ,   y ) .

F x , y = y x e x + y + 3 e x + y + c 1

E aqui está a solução da nossa EDO!!!

Resposta

  1. I ' x ,   y I x , y = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N - M
  2. F x , y = y x e x + y + 3 e x + y + c 1