(a) Prove que tem um fator integrante que depende da soma de se e somente se a expressão
Depender somente de .
(b) Use o item (a) para resolver a equação .
Passo 1
Falaaa, minha pedra brilhante!!! Tudo bem??
Nesta questão vamos usar algumas identidades de EDO exatas para provar o que ele nos pede na letra (a).
Já na letra (b) apenas vamos usar a receita de bolo que criamos na (a). Bora lá!!
Passo 2
Se depende apenas da soma de , então:
Multiplicando uma equação exata genérica por .
Agora, fazendo as derivadas parciais da equação acima:
Derivando a função em relação a , que é o que a equação exata pede.
Fazendo a mesma coisa com a derivada parcial em .
Agora, derivando em relação a .
E o que a equação exata nos pede, é a fórmula que já definimos acima:
Substituindo os valores de cada lado:
Isolando .
Derivando parcialmente em relação a sobra e a mesma coisa em relação a .
Achamos exatamente o que a letra (a) nos pede. O fator integrante depende da equação do enunciado.
Então, se depende da soma de , integrando os dois lados temos:
Passo 3
Agora, vamos achar a solução da equação abaixo com o fator integrante.
Vamos calcular o para colocar na formula do fator integrante depois:
Calculando as derivadas de e .
Colando na fórmula de .
Usando a última fórmula que definimos no passo 2, onde .
Achamos nosso fator integrante, agora podemos resolver a EDO do enunciado como uma equação exata.
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.
A solução implícita é dada por:
Onde são os termos de que dependem apenas de .
Com o fator integrante multiplicando todos os termos, não tem termo que depende só de em .
E aqui está a solução da nossa EDO!!!